Disequazioni irrazionali.

Una disequazione si dice irrazionale quando l'incognita figura sotto il segno di radice. Delle disequazioni irrazionali noi ci limiteremo a trattare solamente i seguenti casi particolari:

dove A(x) e B(x) sono polinomi o quozienti di polinomi interi nella variabile x.

Primo caso.-Consideriamo la disequazione:

Iniziamo con l'osservare che le soluzioni cercate dovranno essere tali da rendere positivo o nullo il polinomio B(x) (la B(x) assume valori reali soltanto per valori della x per i quali risulta B(x)0).

Per cui dovremo porre B(x)0

Dovendo essere le soluzioni della disequazione dovranno essere tali da rendere positivo anche il polinomio A(x) (infatti se in corrispondenza di un valore di x per il quale B(x)0 fosse A(x)<0 la disequazione non sarebbe soddisfatta in quanto una quantita' negativa non puo' essere maggiore di una quantita' positiva).

Per cui dovremo porre A(x)0

Le due limitazioni imposte alla variabile x rendono allora positivi i termini A(x) e B(x) e quindi il confronto avviene fra quantita' positive.

Con cio' non vuol dire che A(x) sia maggiore di

Per la proprieta' 4) delle diseguaglianze, elevando al quadrato ambo i membri si dovra' avere: A2(x)B(x).

La disequazione A(x)>B(x) e' allora equivalente al sistema:

Esempi.

1.Risolvere la disequazione:

Dobbiamo risolvere il sistema equivalente:

Graficamente:

     1a diseq. ________•___*------*_______
                                    0    1          3
     2a diseq. -----------•---o____________
                                    0    1

L'intervallo cercato e' allora: I=[3;+[

Secondo caso

Consideriamo la disequazione:

Le soluzioni della disequazione devono essere tali che B(x)0

I valori di x per i quali e' B(x)0 possono rendere il polinomio A(x) positivo oppure negativo.

I valori di x per i quali e' A(x)<0 soddisfano certamente la disequazione (una quantita' negativa e' sempre minore di una quantita' positiva).

Quindi porremo A(x)<0

Una parte delle soluzioni della disequazione si ottengono risolvendo il sistema equivalente:


I valori di x per i quali e' invece A(x)>0 soddisfano la disequazione se:

    

Concludendo possiamo dire che l'intervallo delle soluzioni della disequazione si ottiene come unione degli intervalli che si ottengono risolvendo i sistemi:

Esempio.

Risolvere la disequazione:

La disequazione e' equivalente ai sistemi:

Dal primo sistema otteniamo l'intervallo, I1= ]-;2]U[7;8[ ; dal secondo l'intervallo I2=[8;+[

L'intervallo delle soluzioni e' l'unione dei due intervalli,cioe':

I= [-;2]U[7;+[

Terzo caso

Consideriamo le disequazioni: con n dispari.

Come sappiamo se n e' dispari, da a>b segue : an>bn e da a<b segue, an<bn allora le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, alle: An(x)>B(x) e An(x)<B(x).

Esempio.

Risolvere la disequazione:

La disequazione e' equivalente alla: x3+4x2-x+1<(x+1)3, cioe' alla: x2-4x<0.

L'intervallo delle soluzioni e': I=]0;4[, cioe' tutti i valori di x per i quali si ha:0<x<4.

Quarto caso

Consideriamo le disequazioni: , con n pari.

Con considerazioni analoghe a quelle svolte nel primo  e secondo  caso le disequazioni sono equivalenti rispettivamente ai sistemi: